2026年武汉四月签约数学第19题

核心回答

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常见问题

来源：中考网整理

‌2026年武汉四月签约数学第19题‌涉及圆锥曲线，具体题目和解答过程如下：

题目：设椭圆C的方程为 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$（$a > b > 0$），过点 $P(0,1)$ 的直线 $l$ 与椭圆C交于 $A$、$B$ 两点，且 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$（其中 $O$ 为坐标原点）。

1. 求椭圆C的离心率 $e$ 的取值范围。
2. 若直线 $l$ 的斜率为 $k$，且 $k \neq 0$，求直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 $b$ 与斜率 $k$ 之间的关系，并求出直线 $l$ 被椭圆C所截得的弦长 $|AB|$。

‌解答过程‌：

1. ‌求离心率 $e$ 的取值范围‌：

   • 设交点 $A(x_1, y_1)$，$B(x_2, y_2)$，由 $\vec{OA} \cdot \vec{OB} = 0$ 得 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$。
   • 联立直线和椭圆的方程，消去 $y$，得到关于 $x$ 的二次方程 $(b^2 + a^2k^2)x^2 - 2a^2kx + a^2 - b^2 = 0$。
   • 由韦达定理得 $x_1x_2 = \frac{a^2 - b^2}{b^2 + a^2k^2}$，代入 $x_1x_2 + y_1y_2 = 0$，解得 $k^2 = \frac{b^2}{a^2}$。
   • 由 $k^2 \leq 1$ 得 $b^2 \leq a^2$，即 $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} \leq \sqrt{\frac{1}{2}}$。因此，离心率 $e$ 的取值范围为 $[0, \sqrt{\frac{1}{2}}]$。

2. ‌求直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 $b$ 与斜率 $k$ 之间的关系及弦长 $|AB|$‌：

   • 由 $k^2 = \frac{b^2}{a^2}$ 得 $b = ak$。
   • 弦长 $|AB|$ 可通过公式 $|AB| = \sqrt{1 + k^2} \cdot \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2}$